코딩 테스트 - 07. 최단 경로 (Python3)

February 20, 2022

최단 경로

말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘 (길 찾기 문제)
다양한 사례에 맞는 알고리즘이 존재하므로 그것을 미리 파악하면 좀 더 쉽게 문제를 풀 수 있음
보통 그래프를 이용하여 표현하며, 최단 경로 모두를 출력하기보다 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제됨
다익스트라, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘이 대표적
그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍의 한 유형이라고 볼 수 있음
문제를 풀기 전에 그래프를 그림으로 한 번 그려보고 접근하자

0. 힙 자료구조

우선순위 큐를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나
우선순위 큐 : 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제
Python에서 우선순위 큐가 필요할 때, PriorityQueue 혹은 heapq를 사용 (heapq가 더 빠름)
우선순위 큐 라이브러리에 데이터 묶음을 넣으면, 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 부여
- ex) (가치, 물건) => ‘가치’ 값이 우선순위 값
우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙 혹은 최대 힙을 이용
- 최소 힙 : 값이 작은 데이터 먼저 삭제 (Python, Java)
- 최대 힙 : 값이 큰 데이터 먼저 삭제 (C++)
- 우선순위에 해당하는 값에 음수를 붙여 반대로 사용할 수 있음

1. 다익스트라 최단경로 알고리즘

그래프에 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘
음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작
실제 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택
그리디 알고리즘으로 분류되며, 매번 가장 비용이 적은 노드를 선택해서 임의의 과정을 반복함
1. 출발 노드 설정
2. 최단 거리 테이블 초기화
3. 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드 선택
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산한 후, 최단 거리 테이블 갱신
5. 3과 4를 반복
최단 거리 테이블 : ‘각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리’ 정보를 가지고 있는 1차원 리스트
최단 거리 테이블을 계속 갱신함
- 이 때, 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드의 대한 최단거리를 확실하게 찾는다
- 즉, 한 번 선택된 노드의 최단 거리는 더 이상 감소하지 않는다

1-1. 간단한 다익스트라 알고리즘

매번 선형 탁샘하고, 현재 노드와 연결된 노드를 매번 확인 => 시간 복잡도 차원에서 좋지 못한 성능
시간 복잡도 : O(V**2) (V : 노드의 개수)

import sys
# input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값 (10억)

# n : 노드의 개수, m : 간선의 개수
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]

# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트
visited = [False] * (n + 1)

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화 (거리가 나올 때 바로 갱신 가능한 크기의 값)
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보 입력
for _ in range(m):
    
    # A에서 B로 가는 비용은 C
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))
    
# 방문하지 않는 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    
    # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    index = 0
    
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
        
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 배해 반복
    for i in range(n - 1):
        
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노들르 꺼내서 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧으 ㄴ경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost
                
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
    
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])

1-2. 개선된 다익스트라 알고리즘

힙 자료구조를 사용하여 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리 (최소 힙)
최단 거리 테이블은 1차원 리스트로 그대로 사용 + 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로 우선순위 큐 사용 (튜플 형식)
시간 복잡도 : O(ElogV) (V : 노드의 개수, E : 간선의 개수)
- 이렇게 빠른 이유
  1. 반복문(While)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 반복되지 않는다
  2. V번 반복될 때 마다 각각 자신과 연결된 간선들을 모두 확인
    => ‘현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인’하는 총 횟수는 E만큼 연산이 수행
    => E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사

import heapq
import sys
# input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값 (10억)

# n : 노드의 개수, m : 간선의 개수
n, m = map(int, input().split())

# 시작 노드 번호
start = int(input())

# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]

# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트
visited = [False] * (n + 1)

# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화 (거리가 나올 때 바로 갱신 가능한 크기의 값)
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보 입력
for _ in range(m):
    
    # A에서 B로 가는 비용 c
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a].append((b, c))
    
def dijkstra(start):
    q = []
    
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로 0, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    
    while q:
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        
        # 현재 노드가 이미 처리된 적 있는 노드라면 무시
        # 불러온 노드 정보의 거리값보다 벌써 갱신된 노드 정보 거리값이 더 작다면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들 확인
        for j in graph[now]:
            cost = dist + j[1]
            
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, j[0]))
            
                
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리 출력
for i in range(1, n+1):
    
    # 도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    else:
        print(distance[i])    

2. 플로이드 워셜 알고리즘

모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야하는 경우에 사용
다익스트라 알고리즘과 달리 매번 방문하지 않는 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다
2차원 리스트에 최단 거리 정보를 저장 (모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하므로)
(N번의 단계에서 O(N**2)의 시간 소요
다이나믹 프로그래밍으로 분류
각 단계에서는 해당 노드를 거쳐 가는 경우를 고려함
- ex) 1번 노드에 대한 확인 : A => 1번 => B 비용 확인 후 최단 거리 갱신
- 즉, A => B or A => n번 노드 => B 중 더 작은 값으로 갱신
전체적으로 3중 반복문을 이용
시간 복잡도 : O(N***3)

INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값 (10억)

# n : 노드의 개수, m : 간선의 개수
n, m = map(int, input().split())

# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0
            
# 각 간선에 대한 정보를 입력받은 후, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    
    # A에서 B로 가는 비용은 C
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c
    
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
# K 노드를 기준으로 거쳐가는 형식으로 구현
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
            
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        
        #도달할 수 없는 경우, 무한이라고 출력
        if graph[a][b] == INF:
            print("INFINITY", end = " ")
        else:
            print(graph[a][b], end = " ")
    print()

문제

1. 미래 도시

A의 위치(1) => K => X로 이동하는 최소 시간 구하기 (플로이드 워셜)
X번 회사에 도달할 수 없다면 -1 출력
주어지는 순서
- 첫째 줄 : 회사의 개수 N, 경로의 개수 M
- 둘째 줄 ~ M + 1번째 줄 : 연결된 두 회사의 번호
- M + 2번째 줄 : X, K

INF = int(1e9)

n, m = map(int, input().split())

graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:           
            graph[a][b] = 0
            
for _ in range(m):
    a, b = map(int, input().split())
    
    # 문제에서 서로에게 가는 비용은 1이라고 설정
    graph[a][b] = 1
    graph[b][a] = 1
    
# K : 거쳐갈 노드, X : 최종 목적지
x, k = map(int, input().split())

for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

            
# 수행 결과 (K를 거쳐야하니까 거리가 2개의 합)
distance = graph[1][k] + graph[k][x]

if distance >= INF:
    print('-1')
else:
    print(distance)

2. 전보

메세지를 최대한 많은 도시에 보내자
받은 도시의 개수, 총 걸리는 시간 계산 (다익스트라 알고리즘)
첫째 줄 : 도시의 개수 N, 통로의 개수 M, 보내고자 하는 도시 C
- N, M의 범위 충분히 큼 => 우선순위 큐 사용
둘째 줄 ~ M + 1번째 줄 : 통로에 대한 정보 (X, Y, Z)

import heapq
import sys

# input = sys.stdin.readline()
INF = int(1e9)

n, m, start = map(int, input().split())

graph = [[] for _ in range(n+1)]

distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선의 정보 입력 받기
for _ in range(m):
    
    # x -> y, 비용 z
    x, y, z = map(int, input().split())
    graph[x].append((y, z))
    
def dijkstra(start):
    q = []
    
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    
    while q:
        dist, now = heapq.heappop(q)
        
        if distance[now] < dist:
            continue
            
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
            
dijkstra(start)

# 도달할 수 있는 노드의 개수
count = 0

# 도달할 수 있는 노드 중, 가장 멀리 있는 노드와의 최단 거리
max_distance = 0

for d in distance:
    if d != INF:
        count += 1
        max_distance = max(max_distance, d)
        
# 시작 노드는 제외해야함
print(count - 1, max_distance)

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코딩 테스트 - 07. 최단 경로 (Python3)

최단 경로

0. 힙 자료구조

1. 다익스트라 최단경로 알고리즘

1-1. 간단한 다익스트라 알고리즘

1-2. 개선된 다익스트라 알고리즘

2. 플로이드 워셜 알고리즘

문제

1. 미래 도시

2. 전보

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참고

Trouble Shooting 기록 14. ElementCollection 대체하기 (2)

Trouble Shooting 기록 13. ElementCollection 대체하기 (1)

Trouble Shooting 기록 12. 502 Bad Gateway

Trouble Shooting 기록 11. 서버 최적화